算法笔记 04_半数集问题


★问题描述:

给定一个自然数 n,由 n 开始可以一次产生半数集 set(n) 中的数如下:
(1) n∈set(n);
(2) 在 n 的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过最近添加数的一半;
(3) 按此规则进行处理,直到不能在添加自然数为止。
例:set(6) = {6,16,26,126,36,136},半数集 set(6) 中有 6 个元素
set(8)={8,18,28,38,48,128,138,148,248,1248},有 10 个元素

★编程任务:

对于给定的自然数 n,计算半数集 set(n) 中的元素个数。

★算法思想:

①该问题很容易地可以进行如下理解: 
happysneaker.com 
简而言之: 
6 = 1 + 2 + 3 = 6; 
8 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10; 
②所以又是用递归的方法来进行计算,然而在草稿纸上演算时会发现,很多子问题会被重复计算,比如 n=4 时,f(4)=1+f(2)+f(1),而 f(2)=1+f(1),所以 f(1) 在这里被重复计算了一次,可想而知,当 n 较大时,时间复杂度太高,至少是 O(n^2); 
③因此可以用数组来存储已经计算过的子问题的结果,这样就可以避免重复计算,提高效率。 
(注意:其实还可以想到,奇数的半数集合中的元素个数等于其之前的偶数的半数集合中的元素个数)

★C++ 代码如下(Visual Studio 2017 运行成功):

//注意:*在函数体外定义的内置数组,其元素均初始化为 0;
//      *在函数体内定义的内置数组,其元素无初始化;

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 100
using namespace std;

int record[MAX];    //定义数组 record 来记录所有产生的数据,大小为 100 ,全局数组元素均初始化为 0
int HalfSet(int n)      //定义半数集函数 HalfSet()
{ 
    if (record[n] > 0)      //若数组第 n+1 个数据大于 0(避免重复计算的判断语句,数组中所有元素已初始化为 0 )
        return record[n];       //则直接返回第 n+1 个数据(将数据进行了记录,避免了重复计算,改进了递归算法)
    else
    {
        record[n] = 1;  
        for (int i = 1; i <= n / 2; i++)    
        record[n] += HalfSet(i);        return record[n];    //同样的,记录数据
    }
}
    
int main()
{
    int n;    
    while (!0)  
    {    
        cout << "Please input the number you like:" << endl;
        ~scanf("%d", &n);    //使程序可以循环读输入
        int sum = HalfSet(n);        
        cout << "The result is:\n" << sum << endl;        
        cout << "______________________________________________" << endl;
    } 
    return 0;
}


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